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为了进行线性方程组 $Ax=b$ 的数值求解，这里介绍一种数值求解方法 —— 共轭梯度法（Conjugate gradient method），简称 CG。 共轭梯度法适用于矩阵 $A$ 是对称正定的情况，如果不考虑计算机处理浮点数的误差，该方法能够给出线性方程组的精确解。

共轭梯度法的条件​

为了求解线性方程组(或者说线性系统) $Ax=b$，其中 $A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，即 $A \in R^{n \times n}$；$b \in R^n$；$x \in R^n$。 此外，还要求矩阵 $A$ 是对称正定(symmetric position definite，SPD)的，这样才能保证最后共轭梯度法的迭代会收敛到所要求的解。 所谓对称，是指 $A^T = A$，即矩阵 $A$ 的转置等于其本身。 所谓正定，是指 $\forall x \neq 0$，都有 $x^TAx>0$。
可以总结，为了使用共轭梯度法，对矩阵 $A$ 有如下对约束条件：

1. 矩阵$A$必须是对称矩阵；
2. 矩阵$A$必须是正定矩阵；
3. 矩阵$A$必须是$n\times n$ 的方阵（其中这条已经隐含在条件1和2里面了，因为矩阵的对称和正定都要求矩阵是方阵）；